混凝土是当前使用最广泛的工程材料，在各类混凝土结构设计中，其强度是关键参数之一。然而，在许多工程/工事的设计过程中，不得不考虑其抗侵彻和抗爆炸性能，因此研究混凝土材料在不同应变率下特别是高应变率下的强度是非常重要和必要的。事实上，之前的百余年来，学者们对混凝土强度的研究从未间断过，其中对不同应变率下混凝土强度的研究从最早公开发表的文献^[1]来看也有百年历史。百年来，学者们使用多种实验设备对各类混凝土进行研究和分析，绝大多数都得到共同的结论：混凝土的压缩强度^[2-3]随着应变率的升高而明显增加^[4]。

当前一般采用动态强化因子(Dynamic Increase Factor，DIF)，即材料动态强度与相应的准静态强度之比(σ_d/σ_ds)，来描述应变率硬化效应。整体来讲，现今同时考虑混凝土压缩应变率强化效应的最常用综合性模型应为CEB模型^[5-6]。该模型已在常用的混凝土动态本构模型之一——RHT模型^[7]中得到应用。CEB模型的表达式为

式中：σ_d和σ_ds分别为动态强度和准静态强度(包含压缩强度和拉伸强度)，${\dot \varepsilon }$为应变率(在(1)式中${\dot \varepsilon }$＜300 s^-1)，${{\dot \varepsilon }_{\rm{s}}}$为准静态应变率，k为常数，β是与准静态压缩强度σ_c及参考强度σ_co(σ_co=10 MPa)有关的常量。压缩情况下，(1)式中的各参数取为：${{\dot \varepsilon }_{\rm{s}}}$=3×10^-5 s^-1, lg β =6.16α-2.00, α=1/(5+9 σ_c/σ_co), k=1.026。拉伸情况下，(1)式中的各参数为：${{\dot \varepsilon }_{\rm{s}}}$=3×10^-6 s^-1, lgβ =7.11α-2.33, α=1/(10+6 σ_c/σ_co), k=1.016。

之后，一些学者结合最新实验结果，对CEB模型进行了改进，使之预测得更加准确。然而，在构建混凝土材料的本构模型时，这些经验/半经验表达式存在一些亟待完善之处：(1)姑且不论混凝土实验中的尺寸效应、结构效应、摩擦效应之类的问题^[8-9]，现有的研究结论都表明，混凝土在低、高应变率下对应变率的敏感度明显不同，应做分段处理，以30 s^-1为分段点在理论上值得商榷；(2)事实上，在混凝土动态力学性能测试过程中，存在诸多不定因素和争论的地方，例如，有的用方形试件，有的用圆柱形试件，而且试件尺寸也不尽一致；当应变率较低(低于10^-3 s^-1)时，有学者^[10]认为此时加载速度对材料强度没有影响，所测强度的不同归因于测试手段的差异，与材料本身无关；当应变率较高时，大口径分离式霍普金森压杆(Split Hopkinson Pressure Bar，SHPB)实验的影响因素更多，测量结果的随机性较大，争议很多，所以很难保证实验结果非常准确；(3)在常用的混凝土本构模型(如HJC模型^[11])中，应变率强化因子的形式较简单。因此，我们认为用较复杂的形式拟合并不一定非常准确的实验数据，不如用简单实用的能较准确预测强度的形式替代。

随着实验装置、实验手段及数据处理方法的不断进步，近30年来混凝土动态力学性能的研究方法取得了较多的成果，测试精度也有所提高。本研究在当前已有的混凝土应变率强化效应综述文献的基础上，整理近30年来混凝土动态拉伸强度实验结果，基于当前混凝土应变率强化方程，提出更加简洁的应变率强化表达式。在此，只考虑干燥混凝土，加湿混凝土不在本研究范围内(一般而言，含水混凝土强度的应变率敏感性更强^[2]，温度对混凝土强度也有一定的影响^[12])。

实验表明，混凝土材料的压缩强度随着加载速率的增加(应变率的增加)而增大，而且在低、高应变率下其强化趋势截然不同，如图 1所示。需要说明的是，此处论述的混凝土强度是唯象的定义，我们假设混凝土试件的强度就是混凝土材料的强度，不考虑其结构效应、实验中由于尺寸而引起的横向惯性效应等问题(这些问题需要从细观尺度进行综合分析，不在本工作的研究范围之内)。

图  1  混凝土材料压缩强度的应变率效应^[3]

Figure 1.  Effect of strain rate on compressive strength of plain concrete^[3]

从图 1中可以看出，在低、高应变率下混凝土压缩强度的应变率敏感性并不具备相同的函数特征，为了便于应用，一般采用分段函数进行表征。根据准静态和动态压缩实验结果，许多学者得到了形式类似的经验公式^[13]。整体来讲，可以按照是否考虑混凝土准静态压缩强度对应变率效应的耦合影响将这些结果分为两类。

(1) 不考虑混凝土准静态压缩强度的影响

Tang等^[14]利用Ø76.2 mm SHPB装置，在校正大口径杆中弥散效应的基础上，对两类高强混凝土(U.S.WES和SRI International，准静态压缩强度为97 MPa)进行了动态压缩实验，得到了应变率在5~230 s^-1区间的混凝土单轴动态压缩强度，并对其进行了拟合。研究发现，对数形式和幂函数形式的函数都能较好地预测此类混凝土的动态压缩强度。

对数形式：

幂函数形式：

式中：${{{\dot \varepsilon }_{\rm{0}}}}$为参考应变率，${{{\dot \varepsilon }_{\rm{0}}}}$=1 s^-1；A、B、a、b为常数，对于WES混凝土，其值分别为103.0 MPa、21.3 MPa、116 MPa和0.119，对于SRI混凝土，其值分别为93.6 MPa、21.1 MPa、108 MPa和0.122。

Tedesco等^[15]利用标准MTS设备和Ø57.15 mm SHPB装置对应变率在10^-7~10^-5 s^-1和10^-1~10³ s^-1两个区间内混凝土准静态强度和动态强度的应变率强化效应进行了系统研究，得出了强化因子随应变率变化的规律

Grote等^[16]和Zhou等^[17]通过对水泥砂浆材料和类混凝土材料等在不同应变率下的动/静态力学实验，也得到类似形式的应变率强化经验表达式；Xu等^[18]在现有数据的基础上，提出了混凝土类材料应变率强化效应的一种半经验表达式。然而，这些研究主要针对混凝土类材料，也包括砂浆材料等，考虑到混凝土中粗骨料对材料动/静态强度不可忽视的影响^[19-23]，混凝土与砂浆材料的应变率效应是否一致值得探讨，在此这些模型不予详述。

(2) 考虑混凝土准静态压缩强度的影响

一般来讲，强度较低的混凝土在动态压缩作用下的应变率效应更加敏感^[2-3]，实验结果^[3]也表明了这一规律。因此，考虑准静态压缩强度对混凝土压缩强度应变率效应的影响能在一定程度上提高预测的准确性。

从图 1中可以看出，这些实验所用的混凝土试件存在明显的应变率强化效应，而且在低、高应变率下具有不同的特征。然而，CEB模型以及文献[3]所引用的文献皆为20世纪80年代及以前的实验资料，包括Abram^[1]在1917年发表的实验数据。这些实验数据非常离散，受当时实验条件的限制，很多实验结果的误差较大^[3]，并且在准静态压缩实验中表现得更为明显。在这种情况下混凝土压缩强度的应变率强化结果极有可能受实验技术^[10]和数据处理误差的影响，因而有些学者对混凝土材料如此明显的应变率强化效应并不认同^[24-25]。随着实验设备的发展，一些新的实验装置和实验技术被研究与应用^[26-28]，使得混凝土材料力学性能的测试手段得到极大的提高，相应的实验结果也更为准确可信。

图 1中Bischoff等^[3]参考了大量的从1917年至1985年间混凝土压缩实验结果，并对其进行了对比分析。分析结果表明，混凝土压缩强度实验结果的离散性较大，特别是早期实验结果，学者们所得的分析结论也相互冲突。因此，本研究对1984年之前的研究结果暂不予分析，只考虑1984年之后混凝土材料(不包含饱和混凝土、部分饱和混凝土、砂浆等类似材料)在不同应变率下的单轴压缩强度实验结果，如图 2所示。

图  2  混凝土材料压缩强度的应变率效应(Ⅱ)

Figure 2.  Effect of strain rate on compressive strength of plain concrete (Ⅱ)

从图 2中可以看出：实验测得的混凝土材料强度随着应变率的增加而递增，这一现象在应变率大于1 s^-1时更为明显；其次，混凝土在低、高应变率下的应变率效应明显不同，因而有必要对混凝土的应变率效应分为低应变率和高应变率两个区间分别进行分析。一般而言，不同研究领域所关注的混凝土材料的应变率范围不同，例如：研究准静态本构方程时，应变率一般在10^-4~10^-1 s^-1区间；研究高应变率下的本构方程时，为10²~10⁴ s^-1；而状态方程(EOS)研究则重点放在应变率大于10⁵ s^-1情况^[29]，如图 3所示。

图  3  不同研究情况下应变率的量级

Figure 3.  Magnitude of strain rates expected for different loading cases

从图 3中可以看出：应变率低于5×10^-7 s^-1的情况一般是混凝土蠕变研究范围^{[3, 30-31]}；应变率处于5×10^-7~5×10^-5 s^-1区间，混凝土的强度可视为静态强度^[30-31]；应变率处于10^-4~0.1 s^-1属于低应变率区间^[29]，一般为地震学的研究范围^{[3, 30-31]}；应变率高于1 s^-1时为中高应变率区间^[29]，一般为冲击动力学、爆炸力学的研究范围^{[3, 30-31]}。结合图 2所示不同应变率条件下混凝土压缩强度的实验结果，考虑到Malvar等^[32]在对CEB拉伸模型的改进中过渡应变率取1 s^-1的情况，本研究中混凝土材料压缩强度的低、高应变率过渡值取为1 s^-1。

大量的实验研究结果表明，当应变率较低时，混凝土压缩强度的应变率效应并不明显。Dargel^[33]研究认为，当应变率低于0.2 s^-1时，混凝土压缩强度的应变率强化效应明显低于应变率高于0.2 s^-1时的情况；Dilger等^[34]的混凝土压缩强度实验结果也说明了在低应变率下混凝土的应变率效应规律不明显；Gran等^[35]发现，当应变率低于0.5 s^-1时，混凝土的压缩强度几乎没有随着应变率的增加而增大。另一方面，对于不同的实验，其准静态压缩实验的应变率不尽相同，每位学者的基准应变率也不尽一致，因此以任何一个特定的应变率作为基准参考应变率都不甚合理，在一定程度上影响了其结果的适用性和通用性。一般来讲，应变率处于5×10^-7~5×10^-5 s^-1区间的混凝土强度都可视为其静态强度^[30-31]，因此我们将${\dot \varepsilon }$≤1 s^-1划分为两个区域，如图 4所示：一是准静态区域，${\dot \varepsilon }$≤5×10^-5 s^-1，此区间内DIF皆取为1.0；另一个区域为低应变率区域，5×10^-5 s^-1＜${\dot \varepsilon }$≤1 s^-1。

图  4  低应变率下混凝土材料压缩强度的应变率效应

Figure 4.  Effect of strain rate on compressive strength of plain concrete at low strain rates

在CEB模型中，对整个应变率区间都考虑了混凝土静态压缩强度与应变率效应之间的耦合作用，而且从早期的实验结果来看，低应变率时这种耦合现象的影响更为明显(见图 1)。然而，从图 4中可以看出，在低应变率下，无论是低强度混凝土^[36]，还是中等强度混凝土^[37]，甚至是高强度混凝土^[35]，其规律都没有明显的差别。存在这种区别的原因主要是：(1)受早期的实验条件、测试手段和数据获取方式的限制，实验数据的误差较大，这点在文献[3]中有相关分析；(2)这些实验中混凝土试件的形式不统一，有些为方体，有些为圆柱体，理论上讲圆柱体试件更适合科学研究(更接近理论上的单轴模拟)，而方体则适用于工程测试，两种试件的实验结果存在区别(特别是非准静态时)是很正常的，因此测试结果的分散性不能完全归因于上述所提的耦合效应；(3)事实上，当应变率较低时，两种材料的受力状态(局部效应、应力波的影响等)非常相似，且此时应变率所引起的局部效应比动态加载下侧压效应对其强度测试的影响小得多。因此，我们可以不考虑准静态压缩强度对应变率效应的影响。

对实验结果的拟合显示：在低应变率区间，压缩强度的DIF与应变率之间满足幂函数关系^{[5, 14, 38]}(与应变率的自然对数满足线性关系^{[14, 33, 36, 39]})。从图 4中可以看出，DIF与应变率的自然对数之间大致满足线性关系。综合考虑实用性和简便性，采用对数线性关系更为合适。因此，在${\dot \varepsilon }$≤1 s^-1时，混凝土材料压缩强度的DIF与应变率之间的关系可表达为

式中：${{{\dot \varepsilon }_{{\rm{0s}}}}}$为参考应变率，${{{\dot \varepsilon }_{{\rm{0s}}}}}$= 5×10^-5 s^-1。拟合曲线如图 5所示。

图  5  低应变率下混凝土材料压缩强度的DIF与应变率的关系

Figure 5.  DIF of compressive strength vs.strain rate of plain concrete at low strain rates

诸多研究表明，混凝土试件的动态压缩强度具有非常明显的应变率强化效应^{[14-15, 30, 33-35, 37, 40-44]}；然而从材料的角度上看，该观点的准确性还是值得商榷的。有学者研究认为，混凝土试件动态压缩强度的应变率强化效应在很大程度上是由于实验中混凝土试件尺寸较大以及混凝土试件与压头/入射杆之间的摩擦等因素引起的横向惯性/侧限效应^{[8, 45-50]}，而混凝土材料本身的应变率强化效应远远没有实验结果显示的那么明显^[25]。然而，这些争论仅限于压缩强度应变率强化效应的程度，均没有明确否认在高应变率下混凝土材料压缩强度有所增加这一事实，这点从图 2中也可以看出。结合3.1节关于低应变率情况的分析结果，对图 2进行简化，得到图 6。

图  6  高应变率下混凝土材料压缩强度的应变率效应

Figure 6.  Effect of strain rate on compressive strength of plain concrete at high strain rates

从图 6中可以发现，在高应变率区(这种说法只是相对于低应变率区)存在少数实验数据低于应变率为1 s^-1时对应的值，甚至DIF小于1，如图 6中右下方虚线框内的数据点。从上面的分析结论来看，严格上讲这些值是不合理的，因此将这些数据作为无效数据处理。为了与低应变率条件下的预测表达式保持连续性，在较高应变率下，起点(${\dot \varepsilon }$=1 s^-1)的DIF设定为1.2。从大量实验数据可以看出，绝大多数混凝土动态压缩强度的DIF比较离散，但其分布具有一定的规律，如图 7所示，且大部分数据分布在图 7中点划线与虚线之间。

图  7  高应变率下混凝土材料压缩强度的DIF

Figure 7.  DIF of compressive strength of plain concrete at high strain rates

在CEB模型中，考虑了混凝土准静态压缩强度对其动态压缩强度强化因子的影响，认为低强度混凝土相较于高强度混凝土而言具有更大的应变率强化因子。理论上讲这也是可能的，因为：动态压缩过程中低强度混凝土的应力波传播速度在某种程度上稍小，从而使局部效应更加明显；另一方面，从微观上看，压缩过程中混凝土的主要破坏形式是由孔隙/孔洞坍塌而引起，低强度混凝土的孔隙率更高，微观结构效应可能更明显，因而应变率效应更为敏感，但在低应变率下这种差别较小，所以基本没有影响，这点从以上结论中也可以看出。在较高的应变率下，早期的实验结果^[3]显示这种区别还是存在的。然而，这种区别不太明显。由图 1可知，高应变率时两条拟合直线的斜率基本相等。近年来的实验结果也显示，在高应变率下具有不同准静态压缩强度的混凝土的应变率强化规律没有明显的区别，见图 8。

图  8  高应变率下不同强度混凝土材料压缩强度的DIF

Figure 8.  DIF of compressive strength of plain concrete with different static compressive strengths at high strain rates

图 8中：虚线、双点划线和点划线分别表示低强度(20 MPa＜σ≤30 MPa)、高强度(90 MPa＜σ≤100 MPa)和超高强度(σ＞100 MPa)混凝土压缩强度的DIF拟合曲线。可以看出：在较高应变率下混凝土压缩强度的DIF与其准静态压缩强度没有明显的关系，高强度混凝土的准静态压缩强度高于低强度混凝土，且其应变率强化斜率也高于低强度混凝土，但却高于超高强度混凝土的应变率强化斜率。压缩强度最低的混凝土与压缩强度最高的混凝土的实验数据如图 8中插图所示。从中可以看出，两者之间没有明显的分界线，因此图 8中显示的混凝土强度与其DIF的耦合效应可以不予考虑。其原因主要有以下3点：(1)混凝土因其粗骨料尺寸较大，并且在使用过程中对试件尺寸的限制使得其结构效应明显，实验数据较分散(无论是准静态压缩还是动态压缩)，这点从图 8中可以看出，强度接近、应变率基本相等的混凝土DIF相差超过30%；(2)不同学者进行混凝土压缩实验时，试件的尺寸、粗骨料的种类与尺寸等都不尽相同，而试件尺寸与形状对混凝土的压缩性能有一定的影响^[51-54]，且骨料对混凝土的应变率效应也有一定的影响^{[22, 55]}；(3)一般的高应变率实验结果大多利用大口径SHPB装置获取，而大口径SHPB实验存在许多影响实验准确性的因素，如局部应力问题^[47]、应变率不恒定等。这些误差都远远超过了压缩强度对混凝土DIF的影响。

图 8中，应变率在800 s^-1左右的实验点较少，且明显高于预测值；而应变率在400 s^-1左右也有少数点明显高于预测值，如图 9所示。从图 9中可以明显看出：即使当应变率高于100 s^-1时，大部分数据仍在预测线附近波动；但Riisgaard等^[30]在800 s^-1附近的实验结果高于预测值约30%，而其他应变率下的值基本在预测值附近，见图 9中插图，由于缺少其他实验结果进行对比，并且在如此高的应变率下混凝土动态压缩实验的影响因素很多，因此对于此处本研究不予考虑，只探讨应变率不大于750 s^-1的情况。此外，Ross等^[41-42]的部分实验结果也明显高于预测值，但从图 9中可以看出，该部分数据也存在一定的争议，在相似的应变率下，这些实验结果相差30%以上，而且当应变率增加时，强度竟然减小，即此时DIF为负值，这是不合理的，因此这些点也存在较大的不确定性。

图  9  高应变率下不同强度混凝土材料压缩强度的DIF(Ⅱ)

Figure 9.  DIF of compressive strength of plain concrete with different static compressive strengths at high strain rates (Ⅱ)

若只考虑应变率在1~750 s^-1区间的高应变率下混凝土压缩强度的DIF，我们可以对数据点进行拟合，如图 10所示，从而得到如下拟合表达式

图  10  高应变率下混凝土材料压缩强度的DIF与拟合曲线

Figure 10.  Data points and fitting curve of DIF of compressive strength for plain concrete at high strain rates

式中：${{{\dot \varepsilon }_{{\rm{0d}}}}}$为动态压缩时的参考应变率，${{{\dot \varepsilon }_{{\rm{0d}}}}}$=1 s^-1。

从图 10中可以看出：绝大多数实验数据都在预测曲线上下分布，即使在高应变率下有少部分数据明显高于预测值，在相近应变率下也存在一些实验数据明显低于预测值；实验结果非常分散，重复性不佳，应变率相近时不同学者得到的压缩强度的DIF相差非常大，即使同一组实验且应变率相近时压缩强度的DIF结果也有较大差别。因此，利用非常复杂的形式完全准确地预测混凝土压缩强度的DIF是不可取的，也是不可行的，利用简单的形式相对较准确地预测混凝土压缩强度的DIF则更为实用。

上述研究表明，不同应变率(${\dot \varepsilon }$≤750 s^-1)下混凝土压缩强度的DIF可用下式进行预测

值得注意的是，(7)式中低、高应变率下的参考应变率不同。(7)式的计算值与相关实验结果符合得较好，如图 11所示。(7)式所示分段函数的意义明了，形式简单，预测值较为准确，适合应用于本构模型^[11]。(7)式可等效为

图  11  混凝土材料压缩强度的DIF-应变率拟合曲线

Figure 11.  Fitting curve of DIF of compressive strength vs.strain rate for plain concrete

式中：σ、σ₀、${\bar{\dot{\varepsilon }}}$分别为无量纲应力、无量纲基准应力和无量纲应变率，σ =σ/σ_r, σ₀=σ₀/σ_r, $\bar{\dot{\varepsilon }}=\dot{\varepsilon }/{{{\dot{\varepsilon }}}_{\text{r}}}$，其中σ_r为参考应力，σ_r=1.0 MPa，${{\dot \varepsilon }_{\rm{r}}}$为参考应变率，${{\dot \varepsilon }_{\rm{r}}}$在低应变率和高应变率阶段分别取为5.0×10^-5 s^-1和1.0 s^-1；C为混凝土压缩强度的应变率强化系数，应变率从低到高的3个阶段中分别为0、0.02和0.13。

基准应力σ₀的取值在动态和准静态(低应变率)下是不同的：在准静态(低应变率，${\dot \varepsilon }$≤1 s^-1)下，σ₀为静态压缩强度；而在高应变率(${\dot \varepsilon }$＞1 s^-1)下，σ₀为动态压缩强度。

(9) 式中无量纲基准应力在低、高应变率下取值不同的主要原因是两种情况下参考应变率的取值不同。事实上，很多材料的动态本构方程主要侧重于高应变率情况，其初始应力即为动态等效强度。

基于当前大量的混凝土力学性能测试结果，根据其特征及学者们的分析结论，将混凝土应变率分为3个阶段：准静态压缩阶段(${\dot \varepsilon }$≤5×10^-5 s^-1)、低应变率压缩阶段(5×10^-5 s^-1＜${\dot \varepsilon }$≤1 s^-1)和高应变率压缩阶段(1 s^-1＜${\dot \varepsilon }$≤750 s^-1)，并对各阶段混凝土材料的静、动态力学强度进行分析，得到以下结论：

(1) 混凝土压缩强度的DIF随应变率的增加呈递增趋势，且具有相似的规律，即σ_d/σ_ds=A+B $\ln \bar{\dot{\varepsilon }}$，σ =σ₀(1+C $\ln \bar{\dot{\varepsilon }}$)；

(2) 混凝土压缩强度的DIF随应变率增加而递增的趋势在3个不同应变率阶段内有所不同，并且在高应变率下变化趋势最明显；

(3) 具有不同准静态压缩强度的混凝土材料的DIF随应变率变化的规律有少许差别，但没有明显的界限，而且DIF与$\ln \bar{\dot{\varepsilon }}$的拟线性递增趋势与其强度之间并没有明显的规律，因而在工程应用中可以不考虑混凝土准静态单轴压缩强度对DIF的影响。